"Her arayan bulmaz ama bulanlar mutlaka arayanlardır."
Egilmeye zorlanan bir elemanda
ξ(Gerinim)=(l2-l1)/l1
l1=R. dƟ ve l2= dƟ.(R+y)
-R.dƟ=dx
-dƟ/dx = 1/R , dƟ =Ɵ2-Ɵ1 (radyan cinsinden) olduğundan ve Ɵ2< Ɵ1 (şekil 4 ) olacağından ,sol tarafı da artı yapabilmek için başa "-"" konmalıdır.
ξ (Gerinim)= (-d Ɵ (R+y)-dx)/dx ve R.-dƟ=dx ise
ξ = -y.d Ɵ/dx
y tarafsız eksenden mavi boyalı alana olan mesafedir
dM ise mavi boyalı kısma ait dF(kuvvetin) y ile çarpımıyla hesaplanabilir
dF ,Ნ (gerilim) ; Ნ ise ξ (gerinim) cinsinden ifade edilebilir
Mavi boyalı kısmın alanı dA=W.dy 'dir . Dikdörtgen kesitte W (genişlik) sabittir
Bütün bunlar dM= dF.y denkleminde yerine konursa dM= (dƟ.E.W.y².dy)/dx denklemi elde eilir
Tüm eleman boyunca (L) integral işlemi uygularsak ve sınır değerlerini koyarsak Ɵ=M.L/EI eşitliğine ulaşabiliriz
L/EI değeri aranan K değeridir. Bu değere rijitlik veya stifness adı da verilir.
Yandaki resimde dx uzunluğundaki bir elemanın abartılı bükülmüş hali çizilidir.
Önceki formülümüz: -dƟ/dx=M(x)/EI - Moment M, x' e bağlı ve değişken.
Küçük değerleri için Ɵ (radyan) =tanƟ dir
tanƟ aynı zamanda dy/dx (eğim) dir.
Bunu formüle koyacak olursak -d(dy/dx)/dx veya kısaca y" şeklinde yazılabilinir.
Şekilde L uzunluğunda bir elemana artı yönde yayılı bir p(x) yükü eklenmek suretiyle , eleman içinde M1 ve M2 momentleri ve V1 , V2 kuvvetleri ve elemanın başlangıcında ve sonunda sırasıyla y1 ,y2 sehimleri ve Ɵ1, Ɵ2 açıları oluşmuştur.
Tüm bu yükler ve uç değerler altında x'e bağlı bir M(x) fonksiyonu yazılabilir
Yukaridaki denklemde sadece Ɵ1 , Ɵ2 , Ɵ3 açıları bilinmeyendir. 3 bilinmiyenli 3 denklem kolaylıkla çözülebilir. Konvansiyonal yoldan çözülebileceği gibi aşağıdaki matriksi oluşturup , çözüm de oluşturabiliriz: Matriks kuralları kullanılarak ana matriks, birim matrikse çevrilip ,Ɵ1 , Ɵ2 , Ɵ3 bilinmeyenleri bulunabilir.
Görülebileceği üzerine matriksde kendini tekrarlayan bir yapı vardır. aşağıdaki gibi: